حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \frac{8}{x}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{8}{x}$ .

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$V = \frac{64}{x^{2}}$

خطوة 3

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $64$ خارج التكامل.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $64$ إلى يسار $π$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $5$ وفي $1$ .

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

خطوة 6.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

خطوة 6.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

خطوة 6.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

خطوة 6.2.5

أضف $- 1$ و $5$ .

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

خطوة 6.2.6

اجمع $\frac{4}{5}$ و $64$ .

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

خطوة 6.2.7

اضرب $4$ في $64$ .

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

خطوة 6.2.8

اجمع $\frac{256}{5}$ و $π$ .

$V = \frac{256 π}{5}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{256 π}{5}$

الصيغة العشرية:

$V = 160.84954386 \dots$

خطوة 8