حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$6 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$6 x + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{3}$ .

$6 x + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 3$ في $2$ .

$6 x + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.5

اجمع $\frac{- 6}{3}$ و $x^{- 4}$ .

$6 x + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.6

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{4}$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 x + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.4

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.5

اجمع $\frac{6}{3}$ و $x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.4.6.2.4

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - - x^{- 2}$

خطوة 1.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + 1 x^{- 2}$

خطوة 1.5.4

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + x^{- 2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.7

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x + 6 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.4

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$4 x + 6 - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 x + 6 - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x + 6 - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.8

اطرح $4$ من $1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.5.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.5.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.5.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.5.8

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + 8 x^{- 5}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 x^{- 5}$

خطوة 2.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 2.6.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + 6 + \frac{- 2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 2.6.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 2.6.3.3

اجمع $8$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}}$

خطوة 2.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$ .

$4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$