حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{2} + 1)}^{3}$

خطوة 1

اكتب ${(x^{2} + 1)}^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

خطوة 4

وسّع ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 4.3

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 4.4

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 4.5

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

خطوة 4.6

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

خطوة 4.7

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

خطوة 4.8

انقُل $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

خطوة 4.9

انقُل $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

خطوة 4.10

انقُل $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

خطوة 4.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.12

أضف $2$ و $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.14

أضف $4$ و $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.15

اضرب $3$ في $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.17

أضف $2$ و $2$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.18

اضرب $3$ في $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.19

اضرب $3$ في $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.20

اضرب $1$ في $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.21

اضرب $1$ في $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

خطوة 12.2

بسّط.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

خطوة 12.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$