حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

خطوة 1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة زوجية معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

خطوة 1.3

بما أن الأُس $1 - x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{1 - x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

خطوة 3.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- 1 \cdot 1)}$

خطوة 3.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \cdot - 1}$

خطوة 3.10

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 e^{1 - x}}$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $- 1 e^{1 - x}$ بالصيغة $- e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{1 - x}}$

خطوة 4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

خطوة 5.1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

خطوة 5.1.3

بما أن الدالة $e^{1 - x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $- 1$ المحذوف.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

خطوة 5.1.3.2

بما أن الأُس $1 - x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{1 - x}$ تقترب من $\infty$ .

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 5.1.3.3

بما أن الدالة $e^{1 - x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

خطوة 5.1.3.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{- \infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

خطوة 5.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{1 - x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

خطوة 5.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 5.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 5.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 5.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

خطوة 5.3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

خطوة 5.3.7

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 5.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.10

اضرب $e^{1 - x}$ في $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \cdot 1}$

خطوة 5.3.12

اضرب $e^{1 - x}$ في $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x}}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{1 - x}}$ يقترب من $0$ .

$2 \cdot 0$

خطوة 7

اضرب $2$ في $0$ .

$0$