حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{5} x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- 8 x + 4 (\frac{2}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3.4

اجمع $4$ و $\frac{2}{5}$ .

$- 8 x + \frac{4 \cdot 2}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3.5

اضرب $4$ في $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3.6

اجمع $\frac{8}{5}$ و $x^{- 5}$ .

$- 8 x + \frac{8 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.3.7

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} (4 x^{3})$

خطوة 1.4.3

اجمع $4$ و $\frac{2}{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3}$

خطوة 1.4.4

اضرب $4$ في $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8}{3} x^{3}$

خطوة 1.4.5

اجمع $\frac{8}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8 x^{3}}{3}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{8}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $3$ و $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{24}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.2.6.2.4

اقسِم $8 x^{2}$ على $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $\frac{8}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{5 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 2.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 2.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

خطوة 2.4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

خطوة 2.4.5.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

خطوة 2.4.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

خطوة 2.4.7

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

انقُل $x^{4}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

خطوة 2.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

خطوة 2.4.7.3

اطرح $10$ من $4$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 6})$

خطوة 2.4.8

اجمع $- 5$ و $\frac{8}{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 5 \cdot 8}{5} x^{- 6}$

خطوة 2.4.9

اضرب $- 5$ في $8$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5} x^{- 6}$

خطوة 2.4.10

اجمع $\frac{- 40}{5}$ و $x^{- 6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40 x^{- 6}}{5}$

خطوة 2.4.11

انقُل $x^{- 6}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5 x^{6}}$

خطوة 2.4.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 40$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1

أخرِج العامل $5$ من $- 40$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

خطوة 2.4.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 (x^{6})}$

خطوة 2.4.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

خطوة 2.4.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 8}{x^{6}}$

خطوة 2.4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 x^{2} - 8 - \frac{8}{x^{6}}$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 8 x^{2} - \frac{8}{x^{6}} - 8$