حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 4$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

خطوة 1.3.2

اطرح $4$ من $4$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 4^{2} - 4$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 16 - 4$

خطوة 1.5.2

اطرح $4$ من $16$ .

$u_{upper} = 12$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 12$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{12}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $12$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{1})$

خطوة 6.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0)$

خطوة 6.2.5

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} + 0)$

خطوة 6.2.6

أضف $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 12^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.8

اجمع $\frac{2}{2}$ و $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 6.2.9

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 6.2.10

اقسِم $12^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$12^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$12^{\frac{1}{2}}$

الصيغة العشرية:

$3.46410161 \dots$

خطوة 8