حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 6.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 6.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 6.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$