حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 4 y^{2}}$ في صورة ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 4 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.6.2.2

انقُل ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

خطوة 3.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

خطوة 3.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

خطوة 3.6.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.8

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ .

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $1 + 8 y y'$ في $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y'$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط $\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.4.1

انقُل $y$ .

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.4.2

أعِد ترتيب $1$ و $8 y' y$ .

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اطرح $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 6.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $8 y' y$ .

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

خطوة 6.3.3.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

خطوة 6.3.3.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

خطوة 6.3.4

أعِد كتابة $- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

خطوة 6.3.5

اقسِم كل حد في $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ على $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

اقسِم كل حد في $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ على $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.2.4

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.5.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 6.3.5.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 6.3.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$