حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} - x y^{2} + x^{3} = 5$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y^{3} - x y^{2} + x^{3}) = \frac{d}{d y} (5)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} - x y^{2} + x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y^{2}$ .

$3 y^{2} - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{3}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} - (2 x y) - (y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x'$

خطوة 3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2}$

خطوة 5.1.2

أضف $2 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$- y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $x'$ من $- y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x'$ من $- y^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x'$ من $3 x^{2} x'$ .

$x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2})$ .

$x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ على $- y^{2} + 3 x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ على $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y^{2} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$x' = \frac{y (- 3 y) + y (2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 3 y) + y (2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 3 y + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x$ .

$x' = \frac{y (- (3 y) - (- 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.6

أعِد كتابة $- (3 y - 2 x)$ بالصيغة $- 1 (3 y - 2 x)$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) + 3 x^{2}}$

خطوة 5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $3 x^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) - (- 3 x^{2})}$

خطوة 5.3.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2} - 3 x^{2})}$

خطوة 5.3.3.10

أعِد كتابة $- (y^{2} - 3 x^{2})$ بالصيغة $- 1 (y^{2} - 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

خطوة 5.3.3.11

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

خطوة 5.3.3.12

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$