حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x^{2} + x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل الأُس $2$ من ${(x + 1)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.1.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.1.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.1.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{{(0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.4.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.3

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.4.2

أضف $x$ و $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.7.3

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.10

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.10.2

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

خطوة 1.3.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{2 x + 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2}{2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0 + 2}{2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.1.2

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{2}{0 + 1}$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{2}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$