حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

خطوة 1

اكتب $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . إذن $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4.1.4.2

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

خطوة 4.1.4.3

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

خطوة 4.1.4.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

خطوة 7

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$