حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

خطوة 4.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

خطوة 5.1.2

اجمع $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ و $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

خطوة 5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ بالصيغة $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

خطوة 5.3.2

وسّع $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

خطوة 5.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.4

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.5

اضرب $4$ في $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.1.6

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

خطوة 5.3.3.2

اطرح $12 x^{2}$ من $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

خطوة 5.3.4

أضف $9$ و $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $2$ من $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

خطوة 5.3.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

خطوة 5.3.5.3

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

خطوة 5.3.5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

خطوة 5.3.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

خطوة 5.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x$ .

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

خطوة 5.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$