حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $\frac{- 3}{4}$ و $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.2.5

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.3

بما أن $- \frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{2}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- \frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{3} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 6 (\frac{2}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.4

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.5

اضرب $- 6$ في $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.6

اجمع $\frac{- 12}{3}$ و $x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12 x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 4 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.4.7.2.4

اقسِم $- 4 x^{5}$ على $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} (4 x^{3})$

خطوة 1.5.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4}{2} x^{3}$

خطوة 1.5.4

اجمع $\frac{4}{2}$ و $x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4 x^{3}}{2}$

خطوة 1.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2}$

خطوة 1.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)}$

خطوة 1.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 x^{3}}{1}$

خطوة 1.5.5.2.4

اقسِم $2 x^{3}$ على $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $- \frac{3}{4 x^{4}}$ و $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

خطوة 1.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $5$ في $- 4$ .

$- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 20 x^{4} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- \frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{4 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.4.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.4.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.4.8

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

خطوة 2.4.9

اجمع $4$ و $\frac{3}{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

خطوة 2.4.10

اضرب $4$ في $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4} x^{- 5}$

خطوة 2.4.11

اجمع $\frac{12}{4}$ و $x^{- 5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

خطوة 2.4.12

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4 x^{5}}$

خطوة 2.4.13

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

خطوة 2.4.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

خطوة 2.4.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

خطوة 2.4.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$