حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{3} - 15 x = x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} - 15 x = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x$ من $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

خطوة 1.2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

خطوة 1.2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 4) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4, 4$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.3.2

احذِف الأقواس.

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس.

$y = - 4$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = 4$

خطوة 1.5.2

احذِف الأقواس.

$y = 4$

خطوة 1.6

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 4$ و $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

خطوة 3.2

اطرح $x$ من $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 16$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

خطوة 3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

خطوة 3.7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} x^{4}$ في $0$ وفي $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

خطوة 3.7.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $0$ وفي $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.4

اضرب $256$ في $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.5

اجمع $- 256$ و $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 256$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.6.2.4

اقسِم $- 64$ على $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.7

اطرح $64$ من $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.7.2.3.10

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

خطوة 3.7.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

خطوة 3.7.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

خطوة 3.7.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.7.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

خطوة 3.7.2.3.11.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

خطوة 3.7.2.3.12

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

خطوة 3.7.2.3.13

اطرح $8$ من $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

خطوة 3.7.2.3.14

اضرب $- 16$ في $- 8$ .

$- 64 + 128$

خطوة 3.7.2.3.15

أضف $- 64$ و $128$ .

$64$

خطوة 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

خطوة 5.2.2

اضرب $- 15$ في $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

خطوة 5.3

أضف $x$ و $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

خطوة 5.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

خطوة 5.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

خطوة 5.7

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

خطوة 5.8

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

خطوة 5.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

خطوة 5.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

خطوة 5.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $4$ وفي $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

خطوة 5.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $256$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.2.2.4

اقسِم $64$ على $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.6

أضف $64$ و $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.7

اضرب $- 1$ في $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.8

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.9.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.10.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

خطوة 5.10.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 5.10.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 5.10.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 5.10.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

خطوة 5.10.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

خطوة 5.10.2.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

خطوة 5.10.2.3.13

أضف $8$ و $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

خطوة 5.10.2.3.14

اضرب $16$ في $8$ .

$- 64 + 128$

خطوة 5.10.2.3.15

أضف $- 64$ و $128$ .

$64$

خطوة 6

أضف $64$ و $64$ .

$128$

خطوة 7