حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \sqrt{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 7.3

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 11.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 11.4

اجمع $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.5

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$