حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

خطوة 5

لنفترض أن $u = y + 9$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = y + 9$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 9$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 5.1.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

خطوة 5.3

أضف $- 8$ و $9$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

خطوة 5.5

أضف $0$ و $9$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} y^{2}$ في $0$ وفي $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.4

اضرب $64$ في $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.5

اجمع $- 64$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.6.2.4

اقسِم $- 32$ على $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.7

اطرح $32$ من $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.8

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.9.1

أخرِج العامل $8$ من $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.9.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.9.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.10

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.11

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.13

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.14

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.15

اضرب $2$ في $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.16.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.16.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.16.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

خطوة 8.3.17

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

خطوة 8.3.18

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

خطوة 8.3.19

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 8.3.20

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 8.3.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

خطوة 8.3.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.22.1

اضرب $18$ في $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

خطوة 8.3.22.2

اطرح $2$ من $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

خطوة 8.3.23

لكتابة $- 4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

خطوة 8.3.24

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

خطوة 8.3.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

خطوة 8.3.26

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.26.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

خطوة 8.3.26.2

أضف $- 12$ و $52$ .

$\frac{40}{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{40}{3}$

الصيغة العشرية:

$13.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$13 \frac{1}{3}$

خطوة 10