حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{9 x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int \frac{x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 7 - 3 x^{3}$ . إذن $d u = - 9 x^{2} d x$ ، لذا $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 7 - 3 x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $7 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 - 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

خطوة 2.1.4

اطرح $9 x^{2}$ من $0$ .

$- 9 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{9}) d u$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{9}$ .

$9 \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 9} d u$

خطوة 3.3

انقُل $9$ إلى يسار $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \int - \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$9 (- \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$- 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 9$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.1.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 7.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 7.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 - 3 x^{3}$ .

$- 2 {(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$