حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1.3.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\sin (2 x) = 0$

خطوة 4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (0)$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$2 x = 0$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 7

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 x = π + 0$

خطوة 8.1.2

أضف $π$ و $0$ .

$2 x = π$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 9

حل المعادلة $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (0))$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \cos (0)$

خطوة 11.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sin^{2} (0)$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

خطوة 13.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 15.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cos (π)$

خطوة 15.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$2 (- \cos (0))$

خطوة 15.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 15.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \cdot - 1$

خطوة 15.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2$

خطوة 16

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 17

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

خطوة 17.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

خطوة 17.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

خطوة 17.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 18

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{π}{2}, 1)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 19