حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 4

اقسِم $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ على $x^{2} + 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

خطوة 4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

خطوة 4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

خطوة 4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

خطوة 4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

خطوة 4.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

خطوة 4.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

خطوة 4.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

خطوة 4.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 2 x + 1$

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

خطوة 4.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

خطوة 4.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

خطوة 10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

خطوة 11

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

خطوة 11.1.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 11.1.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 11.1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 11.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 11.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 11.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 11.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 11.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 11.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 11.1.6.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

خطوة 11.1.6.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.6.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 11.1.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.6.2.2.1

اضرب في $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 11.1.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 11.1.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

خطوة 11.1.6.2.2.4

اقسِم $B (x + 1)$ على $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

خطوة 11.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

خطوة 11.1.6.4

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = A + B x + B$

خطوة 11.1.7

أعِد ترتيب $A$ و $B x$ .

$1 = B x + A + B$

خطوة 11.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = B$

خطوة 11.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 11.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

خطوة 11.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

خطوة 11.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $1 = A + B$ بـ $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

خطوة 11.3.2.2

بسّط $1 = A + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1.1

احذِف الأقواس.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

خطوة 11.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.2.1

أضف $A$ و $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

خطوة 11.3.3

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

خطوة 11.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$A = 1 B = 0$

خطوة 11.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 1, B = 0$

خطوة 11.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اقسِم $0$ على $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

خطوة 11.5.2

احذِف الصفر من العبارة.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

خطوة 12

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 12.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 12.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 12.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 13

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 13.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 13.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

خطوة 15.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

خطوة 16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

خطوة 17

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$