حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x + 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x + 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.1.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

خطوة 3

وسّع $(u - 6) u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

خطوة 3.4

أضف $1$ و $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

خطوة 6

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

خطوة 8

بسّط.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$