حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arctan (x + h) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{x - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3

عوّض بـ $t$ عن $x + h$ وافترض أن $t$ تقترب من $x$ بما أن $lim_{h \to 0} x + h = x$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - lim_{h \to 0} \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $\arctan (x)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to x} \arctan (t) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.5

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{\arctan (x) - \arctan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.6

اطرح $\arctan (x)$ من $\arctan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{\arctan (x + h) - \arctan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h) - \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\arctan (x + h) - \arctan (x)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [\arctan (x + h)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = \arctan (h)$ و $g (h) = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.5

أضف $0$ و $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3.6

اضرب $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + \frac{d}{d h} [- \arctan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- \arctan (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $- \arctan (x)$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}$ و $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(x + h)}^{2}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}}{1}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1} \cdot 1$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(x + h)}^{2} + 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

خطوة 2.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + 1}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $2$ من ${(x + h)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 2.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1}$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{{(x + 0)}^{2} + 1}$

خطوة 4

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1}$