حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 4 x + 3$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 4 x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

خطوة 3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{u}{4}$ في $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4.5

أضف $1$ و $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4.6

اضرب $4$ في $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 4.7

اجمع $- \frac{3}{4}$ و $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

خطوة 4.8

اضرب $4$ في $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{4}$ و $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

خطوة 10

بما أن $\frac{3}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{16}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

خطوة 12.2

بسّط.

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x + 3$ .

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$