حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 0.5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{3} + 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- 6 x^{2} = - 6$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 6 x^{2} = - 6$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 6 x^{2} = - 6$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $- 6$ على $- 6$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $- 0.5$ في $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

خطوة 3.1.2.2

أضف $- 0.5$ و $3$ .

$f (1) = 2.5$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $2.5$ .

$2.5$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ هي $(1, 2.5)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, 2.5)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $- 0.5$ في $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 0.5$ و $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2.5$ .

$2.5$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ هي $(- 1, 2.5)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, 2.5)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 6$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

خطوة 5.2.2

أضف $- 7.26$ و $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.26$ .

$- 1.26$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 1.26$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $6$ .

$f'' (0) = 6$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 6.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 1)$ .

تزايد خلال $(- 1, 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 6$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

خطوة 7.2.2

أضف $- 7.26$ و $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.26$ .

$- 1.26$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1.1$ يساوي $- 1.26$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1, \infty)$

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

خطوة 9