حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x^{2} y) = x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} y$ .

$\cos (x^{2} y) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y (2 x))$

خطوة 2.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y') + \cos (x^{2} y) (2 y x)$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

خطوة 5.2

اطرح $2 x y \cos (x^{2} y)$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ على $x^{2} \cos (x^{2} y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ على $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x^{2} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x^{2} y)}$ إلى $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{1}{x^{2}} \sec (x^{2} y) + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

خطوة 5.3.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

خطوة 5.3.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x^{2} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

خطوة 5.3.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y}{x}$

خطوة 5.3.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$