حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{3} - 3 y^{3} = - 4 x^{2} y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} - 3 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$9 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$9 x^{2} - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $3$ في $- 3$ .

$9 x^{2} - 9 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} y' + y (2 x))$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$- 4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 (x^{2} y') - 4 (2 y x)$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 4 x^{2} y' - 8 y x$

خطوة 3.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x^{2} y' - 8 x y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' = - 4 x^{2} y' - 8 x y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $4 x^{2} y'$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y$

خطوة 5.2

اطرح $9 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $4 x^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2})$ .

$y' (- 9 y^{2} + 4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$y' (- 9 y^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $9 y^{2}$ بالصيغة ${(3 y)}^{2}$ .

$y' (- {(3 y)}^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.6

أعِد ترتيب $- {(3 y)}^{2}$ و ${(2 x)}^{2}$ .

$y' ({(2 x)}^{2} - {(3 y)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.7

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 x$ و $b = 3 y$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - (3 y))) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.8

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - 3 y)) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.8.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$

خطوة 5.9

اقسِم كل حد في $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ على $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ على $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 5.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 5.9.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 5.9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 5.9.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 5.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 5.9.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$