حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

خطوة 3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

خطوة 7.3

اضرب $5$ في $- 3$ .

$u_{lower} = - 15$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

خطوة 7.5

اضرب $5$ في $5$ .

$u_{upper} = 25$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $5$ وفي $- 3$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $25$ وفي $- 15$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.3.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.5

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.6

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1

اضرب $9$ في $3$ .

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.8.2

أضف $125$ و $27$ .

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.9

اجمع $5$ و $\frac{152}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.10

اضرب $5$ في $152$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

خطوة 11.3.11

لكتابة $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 11.3.12

اجمع $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

خطوة 11.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

خطوة 11.3.14

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

خطوة 11.3.15

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

خطوة 11.3.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 14400979614.1438$

خطوة 13