حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

خطوة 1.1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

خطوة 1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

خطوة 1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 1.3

اضرب $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ في $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

خطوة 2

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 3

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $n$ من $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

خطوة 4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ و $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 4.3

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 4.4

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

خطوة 4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

خطوة 4.7.2

أعِد كتابة $n^{2} - 1$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

خطوة 4.7.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = n$ و $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$