حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (2 e^{t} - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{t} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ هو $a^{t} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

خطوة 4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $2 e^{t}$ و $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

خطوة 4.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ و $e^{t}$ .

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$