حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} x^{5} = e^{3 x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y^{3} x^{5}) = \frac{d}{d y} (e^{3 x})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y^{3}$ و $g (y) = x^{5}$ .

$y^{3} \frac{d}{d y} [x^{5}] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{5}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$y^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$y^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$y^{3} (5 x^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 2.3

انقُل $5$ إلى يسار $y^{3}$ .

$5 \cdot y^{3} x^{4} \frac{d}{d y} [x] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} (3 y^{2})$

خطوة 2.6

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

انقُل $3$ إلى يسار $x^{5}$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + 3 \cdot x^{5} y^{2}$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 x]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [3 x]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d y} [3 x]$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$e^{3 x} (3 x')$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب عوامل $e^{3 x} (3 x')$ .

$3 e^{3 x} x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 e^{3 x} x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{3 x} x'$ .

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 x' e^{3 x}$

خطوة 5.2

اطرح $3 x' e^{3 x}$ من كلا المتعادلين.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} - 3 x' e^{3 x} = 0$

خطوة 5.3

اطرح $3 x^{5} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $x'$ من $5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x'$ من $5 x^{4} y^{3} x'$ .

$x' (5 x^{4} y^{3}) - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $x'$ من $- 3 x' e^{3 x}$ .

$x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x})$ .

$x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ على $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ على $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$