حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{1 - x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x}{1 - x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x}{1 - x} d x$

خطوة 4

أعِد ترتيب $1$ و $- x$ .

$\int \frac{x}{- x + 1} d x$

خطوة 5

اقسِم $x$ على $- x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$- x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - x + 1$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 8.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- x + C - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- x + C - (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$- x - \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 1$ .

$- x - \ln (| - x + 1 |) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ .

$F (x) =$ $- x - \ln (| - x + 1 |) + C$