حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \arctan (4 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (4 x)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{4}{16 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{4}{16 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 4}{16 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{4 x}{16 x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - (4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 16 x^{2} + 1$ . إذن $d u = 32 x d x$ ، لذا $\frac{1}{32} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 16 x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$32 x + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $32 x$ و $0$ .

$32 x$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0^{2} + 1$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 16 \cdot 0 + 1$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $16$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 5.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1^{2} + 1$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 16 \cdot 1 + 1$

خطوة 5.5.1.2

اضرب $16$ في $1$ .

$u_{upper} = 16 + 1$

خطوة 5.5.2

أضف $16$ و $1$ .

$u_{upper} = 17$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 17$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u \cdot 32} d u$

خطوة 6.2

انقُل $32$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{32 u} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{32}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{32}$ خارج التكامل.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 (\frac{1}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{32}$ و $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 4}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 (- 1)}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\arctan (4 x) x$ في $1$ وفي $0$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

خطوة 10.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $17$ وفي $1$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\arctan (4) \cdot 1 - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.2.2

اضرب $\arctan (4)$ في $1$ .

$\arctan (4) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.2.3

اضرب $4$ في $0$ .

$\arctan (4) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\arctan (4) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.3.2

اضرب $0$ في $\arctan (0)$ .

$\arctan (4) + 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.2.4

أضف $\arctan (4)$ و $0$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} \ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$

خطوة 10.3.2

اجمع $\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$ و $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})}{8}$

خطوة 10.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $17$ تساوي $17$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{| 1 |})}{8}$

خطوة 10.4.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{1})}{8}$

خطوة 10.4.3

اقسِم $17$ على $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

الصيغة العشرية:

$0.97166599 \dots$