حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

خطوة 3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

خطوة 6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

خطوة 7.3

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

خطوة 7.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

خطوة 9

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 1$ وفي $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.2

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.4

اطرح $25$ من $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.5.2.4

اقسِم $- 12$ على $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

خطوة 11.3.6

اضرب $- 5$ في $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

خطوة 12.3

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

خطوة 12.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

خطوة 12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

الصيغة العشرية:

$652.18111864 \dots$

خطوة 14