حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . إذن $d u = (6 x + 12) d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 12 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $12$ في $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x + 12 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $6 x + 12$ و $0$ .

$6 x + 12$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $12$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $12$ في $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $3$ و $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

خطوة 1.5.3

أضف $15$ و $1$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $16$ وفي $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.6

اضرب $2$ في $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 5.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 5.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 5.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

خطوة 5.2.10

اطرح $2$ من $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

خطوة 5.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $126$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.1

أخرِج العامل $3$ من $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

خطوة 5.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

خطوة 5.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

خطوة 5.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

خطوة 5.2.11.2.4

اقسِم $42$ على $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

خطوة 5.2.12

اجمع $\frac{1}{6}$ و $42$ .

$\frac{42}{6}$

خطوة 5.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $42$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

أخرِج العامل $6$ من $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

خطوة 5.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

خطوة 5.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

خطوة 5.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{1}$

خطوة 5.2.13.2.4

اقسِم $7$ على $1$ .

$7$

خطوة 6