حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{1}{24}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{4}{24}$ و $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.6

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $24 x^{5}$ .

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \frac{3}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{20} x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.4.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

خطوة 1.5

بما أن $\frac{5}{18}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{5}{18}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

خطوة 1.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{6 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.7

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $x^{4}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.7.3

اطرح $10$ من $4$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.8

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.9

اجمع $\frac{- 5}{6}$ و $x^{- 6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.10

انقُل $x^{- 6}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- \frac{3}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{3}{20}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ و $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- \frac{5}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{6 x^{6}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{6}}$ بالصيغة ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

خطوة 3.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{6})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

خطوة 3.3.5.2

اضرب $6$ في $- 2$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

خطوة 3.3.6

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

خطوة 3.3.7

اضرب $x^{- 12}$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

انقُل $x^{5}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

خطوة 3.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

خطوة 3.3.7.3

اطرح $12$ من $5$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

خطوة 3.3.8

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

خطوة 3.3.9

اجمع $6$ و $\frac{5}{6}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

خطوة 3.3.10

اضرب $6$ في $5$ .

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

خطوة 3.3.11

اجمع $\frac{30}{6}$ و $x^{- 7}$ .

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

خطوة 3.3.12

انقُل $x^{- 7}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

خطوة 3.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.13.1

أخرِج العامل $6$ من $30$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

خطوة 3.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.13.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{7}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

خطوة 3.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

خطوة 3.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$