حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

خطوة 1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

خطوة 1.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.4

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.5

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

خطوة 3.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$\int - \frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 3.2.2

اجمع $\cos (t)$ و $\frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int - \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

خطوة 6

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

خطوة 7

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$