حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

خطوة 5

اضرب $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

خطوة 6

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

خطوة 6.2

اضرب $x^{- 2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

خطوة 6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

خطوة 6.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

خطوة 9

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

خطوة 10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

خطوة 12.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

خطوة 12.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$