حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \arctan (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \arctan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 2.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

خطوة 2.3

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

خطوة 2.5

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

خطوة 5.2.4

أضف $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ و $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

خطوة 6.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π^{2}}{16}$

الصيغة العشرية:

$0.61685027 \dots$