حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

خطوة 1.2.3

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

خطوة 1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{1}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

خطوة 1.2.6

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{1}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

خطوة 1.2.7

أضف $1$ و $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

خطوة 1.2.8

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.9

اجمع $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ و $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

خطوة 1.2.10

اجمع $- 4$ و $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

خطوة 1.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

خطوة 1.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

خطوة 1.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

خطوة 1.2.11.2.4

اقسِم $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ على $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

خطوة 1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

خطوة 1.3.2.3

اجمع $\frac{π}{2}$ و $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

خطوة 1.3.2.4

اطرح $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ من $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ .

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.5

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.6

بما أن $- \frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

خطوة 2.3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

خطوة 2.3.7.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.7.3

اجمع $\frac{π \cdot 2}{2}$ و $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{2 π^{2}}{2}$ و $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

خطوة 2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

خطوة 2.9.2

اقسِم $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ على $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ على $- 2 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ على $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ على $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

خطوة 4.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

خطوة 4.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

خطوة 4.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $0$ على $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

خطوة 7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $\frac{π}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

خطوة 7.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

خطوة 7.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

خطوة 7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

خطوة 7.5.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

خطوة 7.6

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

خطوة 7.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

خطوة 7.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

خطوة 7.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

خطوة 8

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 9

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

خطوة 9.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

خطوة 9.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

خطوة 9.2.1.2

اجمع $2$ و $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

خطوة 9.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

خطوة 10

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 11.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 11.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 11.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 11.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 11.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $\frac{π}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

خطوة 11.2.2

لكتابة $\frac{3 π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

خطوة 11.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $9 π$ و $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

خطوة 11.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $10 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

خطوة 11.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

خطوة 11.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

خطوة 11.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1

بسّط $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 11.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

بسّط $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $π$ من $5 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

خطوة 11.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

خطوة 11.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

خطوة 11.4.2.1.2

اجمع $2$ و $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

خطوة 11.4.2.1.3

اضرب $2$ في $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

خطوة 12

حل المعادلة $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{4}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.2

لكتابة $\frac{2 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

خطوة 14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

خطوة 14.5.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

خطوة 14.6

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

خطوة 14.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

خطوة 14.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

خطوة 14.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 14.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

خطوة 14.8

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$π^{2}$

خطوة 15

$x = \frac{4}{3}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{4}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

خطوة 16.2.1.2

اطرح $1$ من $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 16.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 16.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

خطوة 16.2.1.4

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 16.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

خطوة 16.2.1.6

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

خطوة 16.2.2

اطرح $4$ من $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

خطوة 16.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{10}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

اجمع $π$ و $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.1.2

انقُل $10$ إلى يسار $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.2

لكتابة $\frac{5 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

اضرب $\frac{5 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

خطوة 18.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

خطوة 18.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

اضرب $2$ في $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

خطوة 18.5.2

اطرح $π$ من $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

خطوة 18.6

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

خطوة 18.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

خطوة 18.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

خطوة 18.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 18.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 18.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 18.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

خطوة 18.10

انقُل $- 1$ إلى يسار $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

خطوة 18.11

أعِد كتابة $- 1 π^{2}$ بالصيغة $- π^{2}$ .

$- π^{2}$

خطوة 19

$x = \frac{10}{3}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{10}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 20

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{10}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{10}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

خطوة 20.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

خطوة 20.2.1.2

اطرح $1$ من $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

خطوة 20.2.1.3

اقسِم $9$ على $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

خطوة 20.2.1.4

اجمع $\frac{π}{2}$ و $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

خطوة 20.2.1.5

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

خطوة 20.2.1.6

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 20.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 20.2.1.8

اضرب $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

خطوة 20.2.1.8.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

خطوة 20.2.2

أضف $- 2$ و $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

خطوة 20.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 21

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{10}{3}, 2)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 22