حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 4

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 5

اضرب $\sec (x)$ في $\sec^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 5.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(1 \sec (x) + \tan (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب $\sec (x)$ في $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $\tan (x) \sec (x) \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.2.2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.2.3

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $- \sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.2.4

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.2.5

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.3

أعِد ترتيب $\tan^{2} (x)$ و $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.7

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.10

انقُل $- 1$ إلى يسار $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.11

أعِد كتابة $- 1 \sec (x)$ بالصيغة $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.4

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.3

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$