حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \csc (x)$ . إذن $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \csc (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

خطوة 2.1.3

أعِد ترتيب عوامل $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

خطوة 2.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن قاطع التمام سالب في الربع الرابع.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 2.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

خطوة 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

خطوة 2.5.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{4})$ هي $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

خطوة 3

أعِد كتابة $- 1 u$ بالصيغة $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $- \sqrt{2}$ وفي $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

خطوة 8.2.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 8.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

خطوة 8.2.10

اطرح $1$ من $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

خطوة 8.2.11

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

خطوة 8.2.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2}$

خطوة 8.2.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$