حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ بالصيغة ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = y^{2} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2} + x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2} + x^{2}$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 3.2

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

خطوة 4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

خطوة 4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

خطوة 4.2.5

اجمع $y$ و $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$