حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

خطوة 10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

خطوة 12.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

خطوة 12.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

خطوة 12.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

خطوة 12.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

خطوة 12.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

خطوة 12.2.3.2.4

اقسِم $- x^{3}$ على $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$