حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + \frac{1}{4 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

خطوة 1.2.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{- 2}$ .

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

خطوة 1.2.5

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{4 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.10

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.11

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.12

اجمع $\frac{2}{4}$ و $x^{- 3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.13

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{1}{2 x^{3}}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

خطوة 4.1.2.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{- 2}$ .

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

خطوة 4.1.2.5

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

خطوة 4.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$

خطوة 5.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$4 x^{2}, 1$

خطوة 5.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$4 x^{2}$

خطوة 5.4

اضرب كل حد في $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ في $4 x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ في $4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4 x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

خطوة 5.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

خطوة 5.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = - (4 x^{2})$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 1 = - 4 x^{2}$

خطوة 5.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $- 4 x^{2} = - 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 x^{2} = - 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

خطوة 5.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

خطوة 5.5.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.5.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.5.4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.5.4.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{4 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$4 x^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $4 x^{2} = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اقسِم كل حد في $4 x^{2} = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 6.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 6.2.1.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

خطوة 6.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 6.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 6.2.3

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 6.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.3.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{1}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2}$ بالصيغة $2^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2 {({(2^{1})}^{- 1})}^{3}}$

خطوة 9.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{1 \cdot - 1})}^{3}}$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

خطوة 9.1.5

اضرب الأُسس في ${(2^{- 1})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 1 \cdot 3}}$

خطوة 9.1.5.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 3}}$

خطوة 9.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{1 - 3}}$

خطوة 9.1.7

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{2^{- 2}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 9.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

خطوة 9.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \cdot 4$

خطوة 9.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 10

$x = \frac{1}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{1}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{4}{2}}$

خطوة 11.2.1.2

اقسِم $4$ على $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 11.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 1}{2}$

خطوة 11.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2}$

خطوة 11.2.2.2.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 1$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{1}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{1}{2 {(- \frac{1}{2})}^{3}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

خطوة 13.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2}$ بالصيغة $2^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{({(2^{1})}^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2^{1 \cdot - 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.5

اضرب الأُسس في ${(2^{- 1})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{- 1 \cdot 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.5.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{2^{- 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{- 3 + 1} {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.2.7

أضف $- 3$ و $1$ .

$\frac{1}{2^{- 2} {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}} {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4} {(- 1)}^{3}}$

خطوة 13.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

خطوة 13.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{- 1}{4}}$

خطوة 13.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{- \frac{1}{4}}$

خطوة 13.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

خطوة 13.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{\frac{1}{4}}$

خطوة 13.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (1 \cdot 4)$

خطوة 13.4

اضرب $- (1 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $4$ في $1$ .

$- 1 \cdot 4$

خطوة 13.4.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4$

خطوة 14

$x = - \frac{1}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{1}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{4 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 15.2.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 15.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

خطوة 15.2.1.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 15.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 1}{2}$

خطوة 15.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.2.1

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{2}$

خطوة 15.2.2.2.2

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1$

خطوة 15.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x + \frac{1}{4 x}$ .

$(\frac{1}{2}, 1)$ هي نقاط دنيا محلية

$(- \frac{1}{2}, - 1)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 17