حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan^{2} (2 x)$

خطوة 1

اكتب $\tan^{2} (2 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \tan^{2} (2 x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

اجمع $\tan^{2} (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

خطوة 7

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 10

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

خطوة 13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

خطوة 13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

خطوة 13.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$