حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{3})$

خطوة 1

انقُل الحد $- 11$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{3})$

خطوة 2

اجمع $\frac{r}{3}$ و $\ln (\frac{r}{3})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{3})}{3}$

خطوة 3

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{3})$

خطوة 4

أعِد كتابة $r \ln (\frac{r}{3})$ بالصيغة $\frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{3})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

خطوة 5.1.2

عند اقتراب $r$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (\frac{r}{3})$ بلا حدود.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

خطوة 5.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $r$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{r}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = \ln (r)$ و $g (r) = \frac{r}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{3}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.4

اضرب $\frac{3}{r}$ في $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{r}{3}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \cdot \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.9

اضرب $\frac{1}{r}$ في $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

خطوة 5.3.10

أعِد كتابة $\frac{1}{r}$ بالصيغة $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

خطوة 5.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

خطوة 5.3.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{r}$ و $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

خطوة 5.6

احذِف العامل المشترك لـ $r^{2}$ و $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $r$ من $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

خطوة 5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

خطوة 5.6.2.2

أخرِج العامل $r$ من $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

خطوة 5.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

خطوة 5.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

خطوة 5.6.2.5

اقسِم $r$ على $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

خطوة 6.1.2

احسِب قيمة حد $r$ بالتعويض عن $r$ بـ $0$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

خطوة 6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $- 11$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

خطوة 6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

خطوة 6.2.3

اضرب $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $0$ في $\frac{11}{3}$ .

$0$