حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 16 x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

خطوة 1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 7 - 4 x^{3}$ . إذن $d u = - 12 x^{2} d x$ ، لذا $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 7 - 4 x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $7 - 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 4 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 - 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

خطوة 2.1.4

اطرح $12 x^{2}$ من $0$ .

$- 12 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$16 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 12} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$16 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{12}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $\sqrt[3]{u}$ و $\frac{1}{12}$ .

$16 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$16 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- 16 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$- 16 (\frac{1}{12} \int \sqrt[3]{u} d u)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{12}$ و $- 16$ .

$\frac{- 16}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 7.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 16$ .

$\frac{4 (- 4)}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 7.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 7.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 7.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 7.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ بالصيغة $- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 9.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$- \frac{12}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 9.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 9.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1 u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 9.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 - 4 x^{3}$ .

$- {(7 - 4 x^{3})}^{\frac{4}{3}} + C$