حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $3$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

انقُل $3^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

اضرب $3^{\frac{3}{2}}$ في $3^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

انقُل $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 6.2.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

خطوة 6.2.8

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

خطوة 6.2.9

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

خطوة 6.2.10

أضف $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.11

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.12

اجمع $\frac{2}{2}$ و $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 6.2.13

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 6.2.14

اقسِم $3^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$3^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$3^{\frac{1}{2}}$

الصيغة العشرية:

$1.73205080 \dots$

خطوة 8