حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - \cos (x)$ . إذن $d u = \sin (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$0 + \sin (x)$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $1$ وفي $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

خطوة 5.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

خطوة 6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف