حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{4 x + 7}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{4 x + 7}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})$ بنقل $4 x + 7$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to \infty} e^{(4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})}$

خطوة 3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to \infty} (4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})}$

خطوة 4

أعِد كتابة $(4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})$ بالصيغة $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.3.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.5.2.1

اقسِم $1 + 0$ على $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.5.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.2.5.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

خطوة 5.1.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{4 x + 7}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.4

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.10

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.13

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.14.1

أخرِج العامل $x$ من $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.3.1

اطرح $x$ من $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.3.2

اطرح $1 \cdot 1$ من $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.4.5

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.15.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.15.5.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

خطوة 5.3.16

أعِد كتابة $\frac{1}{4 x + 7}$ بالصيغة ${(4 x + 7)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{- 1}]}}$

خطوة 5.3.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 4 x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.17.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x + 7$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

خطوة 5.3.17.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

خطوة 5.3.17.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x + 7$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

خطوة 5.3.18

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}}$

خطوة 5.3.19

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}}$

خطوة 5.3.20

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}}$

خطوة 5.3.21

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 + \frac{d}{d x} [7])}}$

خطوة 5.3.22

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 + 0)}}$

خطوة 5.3.23

أضف $4$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} \cdot 4}}$

خطوة 5.3.24

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- 4 {(4 x + 7)}^{- 2}}}$

خطوة 5.3.25

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- 4 \frac{1}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

خطوة 5.3.25.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.25.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{- 4}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

خطوة 5.3.25.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{4}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

خطوة 5.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

خطوة 5.5.2

اضرب $\frac{1}{x (x + 1)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

خطوة 5.5.3

اضرب $\frac{1}{x (x + 1)}$ في $\frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x (x + 1) \cdot 4}}$

خطوة 5.6

انقُل $4$ إلى يسار $x (x + 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4 x (x + 1)}}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x (x + 1)}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot 1}}$

خطوة 7.2

اضرب $x$ في $x$ .

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x^{2} + x \cdot 1}}$

خطوة 7.3

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x^{2} + x}}$

خطوة 8

اقسِم البسط والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.3

انقُل الأُس $2$ من ${(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 9.8

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 10

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

خطوة 11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

خطوة 12

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + 0}}$

خطوة 13

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + 0}}$

خطوة 13.1.2

اضرب $7$ في $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 + 0)}^{2}}{1 + 0}}$

خطوة 13.1.3

أضف $4$ و $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4^{2}}{1 + 0}}$

خطوة 13.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1 + 0}}$

خطوة 13.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1}}$

خطوة 13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (4)}{1}}$

خطوة 13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 4}{1}}$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4}$

خطوة 14

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{4}$

الصيغة العشرية:

$54.59815003 \dots$