حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{3 x^{3} + 6} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x^{3} + 6$ . إذن $d u = 9 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x^{3} + 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $9 x^{2}$ و $0$ .

$9 x^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} + 6$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 6$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $6$ .

$u_{lower} = 6$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} + 6$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 6$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{upper} = 3 + 6$

خطوة 1.5.2

أضف $3$ و $6$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{6}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{9}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{\sqrt{u}}{9} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{6}^{9}$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $6$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{9} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اجمع $6^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{6^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

خطوة 6.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{9} \cdot (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

الصيغة العشرية:

$0.91133789 \dots$